unity3d 数学基础与数学辅助类（三）

其实我是神

2. 矩阵（matrix）与变换（transform）

矩阵这玩意是用来干嘛用的呢？大学老师没告诉过我们，至于为什么不告诉我们呢？就不加讨论了，反正教我的是业余的！毕竟老师没有告诉过我，错了希望要指正我啊！

矩阵在数学书上说是是由方程组的系数和常数组成的。从数学原理上, 矩阵代表了从一个线性空间到另一个线性空间的变换.




通过一个教科书上的例子，简单的描述下计算公式，估计是比较笨的原因，我不喜欢直接用数学符号描述，只喜欢看图。










矩阵说白了，个人理解就是让你“穿越”用的，让你的向量从一个空间转换到另外一个空间的向量，一个位置移动（或者旋转）到另外一个位置。至于空间有 本地坐标系统，世界坐标系统，屏幕坐标系统等，以后会谈及！我门看下矩阵变换有几种：平移，旋转，缩放，这些unity3d都已经封装好了。想具体看下他 们是怎么变换的，我懒得画图板画了，去网络上找一个图片来！按照矩阵的算法，用向量乘以变换矩阵套下公式，比较下转换前后的值，就知道了！

每一种变换，都有对应的变换矩阵，用向量或坐标乘以变换矩阵，即可对它们完成变换。变换矩阵之间，也可以做乘法叠加，叠加的几何意义是把变换按叠加 的先后顺序复合到一个矩阵中去，注意矩阵叠加不满足交换律。变换矩阵是一个4 x 4的矩阵，所以向量和坐标需要扩展到齐次空间中。
向量：(x, y, z, 0)
坐标：(x, y, z, 1)
他们的区别在于第四项，向量的第4项取0，可以使矩阵的平移变换失效，而不影响旋转和缩放运算。坐标第4项取1，使平移有效，并且平移变换的比例不 会被变化。如果取2，则其平移的距离则是矩阵中定义的2倍。以此类推。注意，在变换后，有可能出现第4项非0/1  的情况，这个时候，我们必须要做一个映射动作，将它从齐次空间映射回3维空间，方法很简单：
(x, y, z, w) --> (x/w, y/w, z/w, w/w) --> (x/w, y/w, z/w, 1) --> (x/w, y/w, z/w)


3. 平面（plane）与射线（Ray）

平面：

n Dot P + d = X；
X<0，点P位于平面的背面，|X| 即点P到平面的距离
X>0，点P位于平面的正面，|X| 为点P到平面的距离
射线：

设起点为P0, 方向为u，t 为参数，t 属于 [0, 无穷大)，当t 属于(-无穷大，+无穷大）时就表示直线。
p(t) = p0 + t * u

之所以要将他们一起放一起是他们两在实际的开发中，是常在一起使用的。至少我用的比较多，举个例子吧！

比如我们点击下2D的屏幕坐标，要确定游戏3D空间中位置，怎么确定呢？如何用只有x,y轴的二维鼠标，尽量精准的取得x,y,z三维空间的位置， 是一个从三维出现就一直被讨论的主题。即使在图形技术如此发达的今天，三维空间的点击仍然只能说"大概准确"。鼠标点击来确定三维空间的位置和摄像机的关 系非常大，为什么要说和摄像机有很大的关系呢？如果你熟悉Direcx3D里面的绘制流水的话，就知道摄像机把3d空间坐标转化为屏幕坐标起着很关键的作 用，如裁剪(clipping)，投影窗口（projection  window），近裁减，远裁剪，投影平面等。写一个段unity的代码吧！（代码格式调不好，就随便看下吧）。

void Update ()

{

if(Input.GetMouseButtonDown(0))

{

RayControl();

}

if(flagMove)

{

if(Vector3.Distance(transform.position,mousePos)>1)

{

transform.Translate(transform.worldToLocalMatrix* ransform.forward*  Time.deltaTime*5);//transform.forward是世界坐标，通过 transform.worldToLocalMatrix转换矩阵转到本地坐标 然后在本地坐标运动，没有必要必须在本地坐标系运动  但是必须注意要统一起来。

}

else

{

flagMove=false;

}

}

}

void RayControl()

{

Ray ray=Camera.main.ScreenPointToRay(Input.mousePosition);//向屏幕发射一条射线（注意这个对象是主摄像机哦）

if(Physics.Raycast(ray,out hit,200))射线长度为200 和地面的碰撞盒做检测

{

GameObject targetPos=GameObject.CreatePrimitive(PrimitiveType.Sphere);//实例化一个Sphere

targetPos.transform.localScale=new Vector3(0.5f,0.5f,0.5f);

mousePos=hit.point;//获取碰撞点坐标

mousePos.y=transform.position.y;

targetPos.transform.position=mousePos;//Sphere放到鼠标点击的地方

targetDir=mousePos-transform.position;//计算出朝向

Vector3 tempDir=Vector3.Cross(transform.forward,targetDir.normalized);//用叉乘判断两个向量 是否同方向

float dotValue=Vector3.Dot(transform.forward,targetDir.normalized);//点乘 计算两个向量的夹角，及角色和目标点的夹角

float angle=Mathf.Acos(dotValue)*Mathf.Rad2Deg;

if(tempDir.y<0)//这块 说明两个向量方向相反，这个判断用来确定 假如两个之间夹角30度 到底是顺时 还是逆时针旋转。

{

angle=angle*(-1);

}

print(tempDir.y);

print("2:"+angle);

transform.RotateAround(transform.position,Vector3.up,angle);

flagMove=***e;

}

}



注意事项：写完了才发现 原来没必要这么麻烦,这样transform.forward=(mousePos-transform.position).normalized就可以直接让角色朝向目标点 RayControl函数 好多都可以省了

4. unity3d 数学辅助类

4.1 Mathf提供数学计算的函数与常量，面有所有数学计算时需要用到的函数。Mathf对象没有构造函数，是一个固有的对象，并不像String那样是对象的类，因此没有构造函数 Math()。

4.2  Matrix4x4一个标准的4x4变换矩阵一个变换矩阵可以执行任意的线形3D变换（例如，平移，旋转，缩放，切边等等）并且***变换使用齐次坐标。脚 本中很少使用矩阵：最常用Vector3，Quaternion，而且Transform类的功能更简单。单纯的矩阵用于特殊情况，如设置非标准相机投 影。

4.3  Quaternion四元数用于表示旋转它们基于复数的并不容易被直观地理解，因此你没有必要访问或修改单个Quaternion组件 (x,y,z,w)；通常你只需把现有的旋转（例如，来自Transform）并使用它们来构造新的旋转（例如，在两个旋转间平滑地插值）。四元数函数你 99%的时间你会使用它（其他函数仅额外使用）

Quaternion.LookRotation,Quaternion.Angle,Quaternion.Euler,Quaternion.Slerp,Quaternion.FromToRotation,Quaternion.identity。

4.4 Ray射线是一个无穷的线，开始于origin并沿着direction方向

4.5 Rect一个由x、y位置和width、height大小定义的二维矩形,Rect结构主要用于2D操作。UnityGUI系统很普遍的使用它，以及在屏幕上定位摄像机

4.6 Vector2/vector3/vector4 表示向量和点, 结构用于在Unity传递3D位置和方向。它也包含做些普通向量运算的函数,如角度，模，单位向量，叉乘，点乘，向前向左向右向上，插值，投影，反射，转向……..

4.7  最后一个大总管，transform物体的位置、旋转和缩放，场景中的每一个物体都有一个Transform。用于储存并操控物体的位置、旋转和缩放。每 一个Transform可以有一个父级，允许你分层次应用位置、旋转和缩放。可以在Hierarchy面板查看层次关系。他们也支持计数器 （enumerator），因此你可以使用循环遍历子物体。

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